[예측방법론] 6강. 불안정, 비선형 시계열모형 완전정리

1. 불안정 시계열 모형

확률보행 모형 (Random Walk)

확률보행 모형은 가장 기본적인 불안정 시계열 모형으로, 현재 값이 이전 값에 오차항이 더해진 형태입니다.

$$Y_t = Y_{t-1} + \epsilon_t$$​

여기서

$\epsilon_t$

는 평균 0, 분산

$\sigma^2$

인 백색잡음.

• 특징 : 평균이 일정하지 않고, 시간이 지날수록 분산이 커짐

• 안정성 없음

차분 (Differencing)

불안정 시계열을 안정 시계열로 변환하기 위해 차분을 사용합니다.

 

$$W_t = Y_t – Y_{t-1}$$​

1차 차분을 통해 평균과 분산을 일정하게 만들 수 있음.

ARIMA 모형

ARIMA(Auto-Regressive Integrated Moving Average) 모형은 AR, MA 모형에 차분을 포함한 형태.

 

$$ARIMA(p,d,q)$$

$p$

: 자기회귀 차수

$d$

: 차분 횟수

$q$

: 이동평균 차수

모형 변환 예

• 확률보행 모형 → ARIMA(0,1,0)

• AR(p) → ARIMA(p,0,0)

• MA(q) → ARIMA(0,0,q)

• ARMA(p,q) → ARIMA(p,0,q)

계절 ARIMA 모형

계절성을 가진 시계열은 계절 성분을 따로 모형화.

 

$$ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_s$$

 

$(P,D,Q)$

: 계절 모형 차수

$s$

: 계절 주기 (12: 월별, 4: 분기별)

예) 월별 데이터에서

$$ARIMA(1,1,1)(1,1,1)_{12}$$​

2. 비선형 시계열 모형

개요

선형모형으로 설명이 어려운 경우 비선형모형 사용
대표적으로

• TAR (Threshold Auto-Regressive)

• Bilinear

• ARCH/GARCH

이선형 모형 (Bilinear)

선형항과 오차항의 곱 형태가 포함된 모형

 

$$Y_t = aY_{t-1} + bY_{t-1}\epsilon_{t-1} + \epsilon_t$$​

시간에 따라 오차와 과거 값의 곱으로 예측.

TAR 모형

TAR(Threshold Auto-Regressive) 모형은 특정 임계값(Threshold)을 기준으로 AR 모형의 계수를 다르게 설정.

$$Y_t = \begin{cases} \phi_1 Y_{t-1} + \epsilon_t, & Y_{t-1} \leq \theta \\ \phi_2 Y_{t-1} + \epsilon_t, & Y_{t-1} > \theta \end{cases}$$​

• 특징 : 값의 크기에 따라 AR계수가 달라짐

GARCH 모형

변동성이 시간에 따라 달라지는 경우 사용.

• ARCH(Auto-Regressive Conditional Heteroscedasticity) : 과거 오차의 제곱값으로 분산 예측

• GARCH(Generalized ARCH) : 과거 분산과 오차의 제곱값을 모두 포함

GARCH(p,q) 모형

 

$$\sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_i \epsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^p \beta_j \sigma_{t-j}^2$$​

적용 예시 : 주가, KOSPI 지수 등

3. R 실습 코드

ARIMA 모형 적합

ACF, PACF 확인

GARCH 모형 (fGarch 패키지 활용)

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중요 내용 정리

• 확률보행 모형 :

  $Y_t = Y_{t-1} + \epsilon_t$​, 불안정

• 차분 : 불안정 → 안정 시계열 변환

• ARIMA : AR, MA, 차분 결합 모형

• 계절 ARIMA : 계절 성분 포함

• Bilinear 모형 : 오차와 과거값의 곱 포함

• TAR : 임계값 기준 AR 계수 변경

• GARCH : 시간에 따라 변하는 분산 모델링

• R에서는 arima(), acf(), pacf(), garchFit()로 분석 가능

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객관식 문제

1. 확률보행 모형(Random Walk)의 특징으로 옳지 않은 것은?
① 평균이 일정하다
② 시간이 지날수록 분산이 커진다
③ 차분을 통해 안정시계열로 만들 수 있다
④ 예측값이 직전 값과 동일하다
정답: ①
해설: 확률보행 모형은 평균도 시간이 따라 변합니다.

2. ARIMA(0,1,0) 모형은 무엇을 의미하는가?
① AR(1) 모형
② 확률보행 모형
③ MA(1) 모형
④ ARMA(1,1) 모형
정답: ②
해설: ARIMA(0,1,0)은 확률보행 모형을 의미합니다.

3. GARCH(1,1) 모형의 분산식에서 포함되는 것은?
① 과거 값
② 과거 오차 제곱
③ 과거 분산
④ ②, ③ 모두
정답: ④
해설: GARCH는 과거 오차 제곱과 과거 분산 모두를 포함합니다.