[예측방법론] 6강. 불안정, 비선형 시계열모형 완전정리

1. 불안정 시계열 모형

확률보행 모형 (Random Walk)

확률보행 모형은 가장 기본적인 불안정 시계열 모형으로, 현재 값이 이전 값에 오차항이 더해진 형태입니다.

$Y_t = Y_{t-1} + \epsilon_t$

여기서

$\epsilon_t$

는 평균 0, 분산

$\sigma^2$

인 백색잡음.

특징 : 평균이 일정하지 않고, 시간이 지날수록 분산이 커짐
안정성 없음

차분 (Differencing)

불안정 시계열을 안정 시계열로 변환하기 위해 차분을 사용합니다.

$W_t = Y_t – Y_{t-1}$

1차 차분을 통해 평균과 분산을 일정하게 만들 수 있음.

ARIMA 모형

ARIMA(Auto-Regressive Integrated Moving Average) 모형은 AR, MA 모형에 차분을 포함한 형태.

$ARIMA(p,d,q)$

$p$

: 자기회귀 차수

$d$

: 차분 횟수

$q$

: 이동평균 차수

모형 변환 예

확률보행 모형 → ARIMA(0,1,0)
AR(p) → ARIMA(p,0,0)
MA(q) → ARIMA(0,0,q)
ARMA(p,q) → ARIMA(p,0,q)

계절 ARIMA 모형

계절성을 가진 시계열은 계절 성분을 따로 모형화.

$ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_s$

$(P,D,Q)$

: 계절 모형 차수

$s$

: 계절 주기 (12: 월별, 4: 분기별)

예) 월별 데이터에서

$ARIMA(1,1,1)(1,1,1)_{12}$

2. 비선형 시계열 모형

개요

선형모형으로 설명이 어려운 경우 비선형모형 사용
대표적으로

TAR (Threshold Auto-Regressive)
Bilinear
ARCH/GARCH

이선형 모형 (Bilinear)

선형항과 오차항의 곱 형태가 포함된 모형

$Y_t = aY_{t-1} + bY_{t-1}\epsilon_{t-1} + \epsilon_t$

시간에 따라 오차와 과거 값의 곱으로 예측.

TAR 모형

TAR(Threshold Auto-Regressive) 모형은 특정 임계값(Threshold)을 기준으로 AR 모형의 계수를 다르게 설정.

$Y_t = \begin{cases} \phi_1 Y_{t-1} + \epsilon_t, & Y_{t-1} \leq \theta \\ \phi_2 Y_{t-1} + \epsilon_t, & Y_{t-1} > \theta \end{cases}$

특징 : 값의 크기에 따라 AR계수가 달라짐

GARCH 모형

변동성이 시간에 따라 달라지는 경우 사용.

ARCH(Auto-Regressive Conditional Heteroscedasticity) : 과거 오차의 제곱값으로 분산 예측
GARCH(Generalized ARCH) : 과거 분산과 오차의 제곱값을 모두 포함

GARCH(p,q) 모형

$\sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_i \epsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^p \beta_j \sigma_{t-j}^2$

적용 예시 : 주가, KOSPI 지수 등

3. R 실습 코드

ARIMA 모형 적합

ACF, PACF 확인

GARCH 모형 (fGarch 패키지 활용)

data ~ garch(1, 1)
→ 평균방정식은 상수항 mu만 포함 (ARMA(0,0))
→ 분산방정식은 GARCH(1,1)

조건부 분산식:

$\sigma_t^2 = \omega + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2$

여기서

$\omega$ : 상수
$\alpha_1$ : 직전 시점의 오차제곱 영향
$\beta_1$ : 직전 시점의 분산 영향

Coefficients

계수	값	해석
mu	0.0095	평균방정식의 상수항, 유의성 없음 (p=0.283)
omega	6.478e-06	조건부 분산의 상수항
alpha1	1.000e-08	직전 오차 제곱의 영향, 거의 0
beta1	1.000	직전 조건부 분산의 영향, 매우 큼 (p<2e-16)

➡ beta1 값이 1.000으로 거의 완벽하게 직전 분산만 반영되는 상태

Persistence = alpha1 + beta1 = 1 → 분산이 매우 천천히 감소하거나 거의 일정
보통 persistence가 1에 가까우면 이분산 충격이 오래 지속

잔차 분석 (Standardised Residuals Tests)

검정	결과	해석
Jarque-Bera	p=0.0329	정규성 가설 기각, 비정규분포 가능성
Shapiro-Wilk	p=0.0017	정규성 기각
Ljung-Box (R)	p값 매우 작음	잔차에 자기상관 있음
Ljung-Box (R²)	p값 매우 작음	이분산(ARCH 효과) 잔존
LM ARCH Test	p=8.41e-08	ARCH 효과 여전히 존재

➡ 모델이 아직 잔차의 이분산을 다 설명 못하고 있음. GARCH(1,1)보다 더 높은 차수 또는 다른 분포(eg. t분포) 고려 가능성

정보량 기준 (Information Criteria)

지표	값	해석
AIC	-1.5925	클수록(절댓값 작을수록) 좋은 모델
BIC	-1.5096	AIC보다 패널티가 큼

➡ 다른 모델과 비교해서 판단할 지표

결론

beta1 값이 1이라서 분산의 자기상관이 매우 강함
잔차 정규성과 ARCH 효과가 완전히 해결되진 않음
GARCH(1,1) 말고 GARCH(1,2)나 t-분포 기반 garchFit으로 다시 적합해볼 것 추천

중요 내용 정리

확률보행 모형 :

$Y_t = Y_{t-1} + \epsilon_t$ , 불안정
차분 : 불안정 → 안정 시계열 변환
ARIMA : AR, MA, 차분 결합 모형
계절 ARIMA : 계절 성분 포함
Bilinear 모형 : 오차와 과거값의 곱 포함
TAR : 임계값 기준 AR 계수 변경
GARCH : 시간에 따라 변하는 분산 모델링
R에서는 arima(), acf(), pacf(), garchFit()로 분석 가능

객관식 문제

1. 확률보행 모형(Random Walk)의 특징으로 옳지 않은 것은?
① 평균이 일정하다
② 시간이 지날수록 분산이 커진다
③ 차분을 통해 안정시계열로 만들 수 있다
④ 예측값이 직전 값과 동일하다
정답: ①
해설: 확률보행 모형은 평균도 시간이 따라 변합니다.

2. ARIMA(0,1,0) 모형은 무엇을 의미하는가?
① AR(1) 모형
② 확률보행 모형
③ MA(1) 모형
④ ARMA(1,1) 모형
정답: ②
해설: ARIMA(0,1,0)은 확률보행 모형을 의미합니다.

3. GARCH(1,1) 모형의 분산식에서 포함되는 것은?
① 과거 값
② 과거 오차 제곱
③ 과거 분산
④ ②, ③ 모두
정답: ④
해설: GARCH는 과거 오차 제곱과 과거 분산 모두를 포함합니다.